Position de a Logique au XXI eme Siècle

"... l'expérience universelle de tous les lettrés et savants depuis le début de l'aventure intellectuelle de l'humanité est que nous ne « savons » pas bien ce que nous savons tant que nous ne le savons pas avec le recul de la compréhension de notre démarche, tant que nous ne sommes pas capables de regarder notre savoir sur un mode distancié, critique, réflexif, interrogatif, etc. Or c'est précisément ce que nous permet l'épistémologie, et par excellence, sous des formes très variées, l'épistémologie de la mathématique".
in Epistémologie de la Mathématique
par J-M.SALANSKI, EU,

	Mathématiques et/ou Logiques ? articulations !		Epistémologie, eeen cours,s,

	Deux Logiques.
	Jusqu'au XIX e Siècle, Mathématiques et Logiques sont séparées.		D'après Louis COUTURAT, Les principes de mathématiques, ( page 15, in Éléménts de logique formelle, Gérard CHAZAL, ),

	Aristote domine la scène Logique avec pour périmètre l'étude des relations d'inclusion ou de prédication entre des concepts généraux et abstraits,		La logique modale , W, et ses deux modes : U ou P et A.E.I.O, syllogismes modaux ou la logique modale aléthique, Nécessaire, Impossible, Possible, ou Contigent,

	Les mathématiques sont une collection de sciences à caractère technique : Science des nombres, de la grandeur, de l'espace, du mouvement, .. unies vaguement par une communauté de méthodes.

	La méthode déductive était alors inconnue de la Logique formelle.		Méthode déductive, Déduction, Wy, Déduction et Induction, W, W, Méthode scientifique,
	La logique formelle voulait étudier toute les formes de déduction mais ignorait les déductions de la science technique !

	Co-existent donc deux logiques : Une Logique mathématique (Logique de la quantité) et une Logique classique (Logique de la qualité), ( principalement : la Syllogistique !), ..		Logique mathématique, Wy, Syllogistique, Syllogisme, W, Wy,

	Seconde moitié du XIX eme siècle, le "moralisme" logique.

	Les mathématiciens analysèrent leurs méthodes de démonstration, vérifièrent l'enchainement de leurs théorèmes, recherchèrent les hypothèses ou les postulats qui s'immisçaient dans leurs raisonnements, pour dégager les principes ou axiomes d'où partaient leurs déductions et dont dépendaient toutes leurs théories.

	Le calcul infinitésimal aux principes paradoxaux encore enrobés de mystères, fut fondé sur la théorie rigoureuse des limites. W		Le calcul infinitésimal (ou calcul différentiel et intégral) est une branche des mathématiques, développée à partir de l'algèbre et de la géométrie, qui implique deux idées majeures complémentaires ( W,) :
			1) Le calcul différentiel, qui établit une relation entre les variations de plusieurs fonctions, ainsi que la notion de dérivée. et (voir Wy, ),
			2) Le calcul intégral, qui développe l'idée d'intégration, les techniques d'intégration, fait intervenir le concept d'aire sous-tendue par le graphe d'une fonction, inclut des notions connexes comme le volume, les suites et séries. et Wy,

	La théorie des fonctions jusqu'alors intuitive fut épurée et approfondie,		EU, Encarta, Théorie des fonctions, extraits,

	La Géométrie et la Mécanique dégagées de l'intuition devinrent les systèmes hypothético-déductifs, à partir d'axiomes et de postulats d'où tout se déduit logiquement !		W, Méthode scientifique,

	Puis les mathématiciens reconsidérant l'ensemble des avancées constituèrent deux théories nouvelles qui devaient servir à toutes les autres :
	1) La théorie des ensembles, science des multiplicités,		Théorie des ensembles, W, Wy,
	2) La théorie des groupes, science de l'ordre,		Théorie des groupes, W, Wy,
	La science des nombres et des grandeurs n'étaient plus primordiales, et reposaient alors sur des doctrines d'un caractère plutôt logique que mathématiques et des notions éloignées du quantitatif,		Quid de la Théorie des nombres ? W, Wy,

	Les mathématiciens explorèrent et défrichèrent le champ ou Aristote avait enfermé la Logique en découvrant dans le domaine circonscrit des relations d'inclusion entre concepts d'autres formes de déductions autres que les célèbres modes du Syllogisme.
	Les mathématiciens empruntent alors à l'Algèbre, non pas ses principes, mais sa Méthode et son Symbolisme, la Logique formelle se constituait sous la double forme d'un Calcul de classes et d'un Calcul des propositions, avec de surprenantes analogies entre eux.		Logique formelle, W, Wy, (et voir GIRARD 2.0 ? Logique linéaire, W, Wy,), par assoc Algèbre linéaire, sur Wy, W, ?) Calcul de classes, 1, 2, W, Calcul des propositions, W, Wy,

	La logique formelle constatait que l'esprit humain considère et manie d'autres relations que les relations d'inclusion entre concepts, , elle analysa et classa ces relations en étudiant les propriétés formelles qui les rendent susceptibles de déduction. Elargissant indéfiniment son horizon, elle devint la Logique des relations,		Logique des relations, W,

	Les relations les plus simples et les plus élémentaires se trouvant dans les Théories mathématiques, elle s'appliqua à a vérifier l'enchainement des propositions mathématiques, à démontrer les prétendus axiomes, en les ramenant à des principes purement logiques. Reliant ainsi les Mathématiques à la Logique qui autrefois étaient séparées.

	Le Calcul des classes apparait comme la partie la plus élémentaire de la Théorie des ensembles, et la Logique des relations est le fondement indispensable de la Théorie des groupes, et de la Théorie des fonctions,

	Union et fusion de la Logique et des Mathématiques, où il devient difficile de discerner où l'une commence et l'autre finit. RUSSELL dit " que la Logique constitue la partie générale et élémentaire de la Mathématique, et que la Mathématique consiste dans l'application des principes de la Logique à des relations spéciales ",

	La fusion de la Logique et des Mathématiques s'est opérée progressivement de façon implicite et inconsciente ! au travers des travaux de BOOLE, de SCHRÖDER, de PEIRCE, et de WEIERSTRASS, de CANTOR, de PEANO et constitue une révolution dans la philosophie mathématique et pour l'épistémologie des Mathématiques, EU, CAVEING, MOYON,		"... l'expérience universelle de tous les lettrés et savants depuis le début de l'aventure intellectuelle de l'humanité est que nous ne « savons » pas bien ce que nous savons tant que nous ne le savons pas avec le recul de la compréhension de notre démarche, tant que nous ne sommes pas capables de regarder notre savoir sur un mode distancié, critique, réflexif, interrogatif, etc. Or c'est précisément ce que nous permet l'épistémologie, et par excellence, sous des formes très variées, l'épistémologie de la mathématique". in Epistémologie de la Mathématique par J-M.SALANSKI, EU,

	La synthèse de tous ces travaux est donnée par Bertrand RUSSELL et N.A.WHITEHEAD dans : Les Principes de la Mathématique, Principia Mathematica, reconstruction de toute la mathématique au moyen de la Logistique, de M. PEANO et complété de la Logique des relations. Y est ainsi justifié la thèse fondamentale de la Logique et de la Mathématique qui montre que toutes les propositions de celles-ci reposent neuf notions indéfinissables et sur vingt principes indémontrables, qui sont les notions et les principes de la Logique même !